Question

20．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A、B产品所需原料如表：

类别	甲种材料（千克）	乙种材料（千克）
1件A产品所需材料	4	1
1件B产品所需材料	3	3

经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）

Answer 1

分析 （1）设出甲乙材料每种的价格为x、y元，由已知可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设生产B产品m件，结合已知列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
（3）结合（2）分别讨论三种方案所需成本，比较即可得出结论．

解答 解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据已知可得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=60}\\{2x+3y=155}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=35}\end{array}\right.$．
答：甲材料每千克25元，乙材料每千克35元．
（2）设需要生产B产品m件，则生产A产品60-m件，
则购买甲、乙材料钱为[4×（60-m）+3m]×25+[1×（60-m）+3m]×35=45m+8100，
又∵现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{m≥38}\\{45m+8100≤9900}\end{array}\right.$，解得38≤m≤40．
故有三种方案，分别为：
①当m=38时，生产A产品22件，B产品38件；
②当m=39时，生产A产品21件，B产品39件；
③当m=40时，生产A产品20件，B产品40件．
（3）结合（2）得知，
方案①：成本=45×38+8100+22×40+38×50，
=1710+8100+880+1900，
=12590（元）．
方案②：成本=45×39+8100+21×40+39×50，
=1755+8100+840+1950，
=12645（元）．
方案③：成本=45×40+8100+20×40+40×50，
=1800+8100+800+2000，
=12700（元）．
综上可知，选方案①时，生产这60件产品的成本最低．

点评 本题考查了一次函数的应用、解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）设出甲乙材料每种的价格为x、y元，结合已知得出关于x、y的二元一次方程组；（2）设生产B产品m件，结合已知列出关于m的一元一次不等式组；（3）结合（2）分别讨论三种方案所需成本．