Question

如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．

Answer 1

分析：（1）由AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，易得∠1=∠2，∠4=∠DAF=∠2+∠3，又由三角形外角的性质，即可证得：∠3=∠B；
（2）由AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，AC于EF交于点O，易证得∠3=∠ODF，即可得OD∥AB，则可证得：∠B+∠ODB=180°．

解答：证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，
∴AF=DF，
∴∠4=∠DAF=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠B，
∴∠3=∠B；

（2）∵EF是AD的中垂线，
∴OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∵∠4=∠DAF，
∴∠3=∠ODF，
∵∠3=∠B，
∴∠ODF=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠B+∠ODB=180°．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．