Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．

解答 解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$×AP×PQ=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²；
当点Q在BC上时，如下图所示：

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16-x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°=$\sqrt{3}$（16-x）．
∴S△APQ=$\frac{1}{2}$AP•PQ=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$（16-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+8$\sqrt{3}$x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故选：D．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．