Question

已知二次函数y=mx²-mx+n的图象交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，x₁＜x₂，交y轴的负半轴于C点，且AB=5，AC⊥BC，求此二次函数的解析式．

Answer 1

解：根据题意可知：m＞0，n＜0，且A、B分别在原点两侧．
根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=1，x₁x₂=．
∵AB=5，∴|x₂-x₁|=5；即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，
∴x₁x₂=-6，即．①
∵AC⊥BC，OC⊥x轴，
∴OC²=OA•OB，即n²=-x₁x₂=6，②
联立①、②得：
，解得；
即抛物线的解析式为：y=x²-x-．
分析：已知AB=5，可用韦达定理表示出AB的长，可得出一个关于m、n的方程；
已知AC⊥BC，根据射影定理得出另一个关于m、n的方程；将上述两式联立方程组即可求得m、n的值．也就得出了二次函数的解析式．
点评：此题要能够根据题意分析出图形的大概位置，然后综合利用一元二次方程根与系数的关系和已知条件得到待定系数的方程，从而求解．