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如图,已知二次函数y=0.5x2+mx+n的图象过点A(-3,6),并与x轴交于点B(-1,0)和精英家教网点C,顶点为P.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)求线段PC的长;
(3)设D为线段OC上的一点,且∠DPC=∠BAC,求点D的坐标.
分析:(1)利用抛物线y=
1
2
x2+mx+n
过点-A(-3,6),B(-1,0),解得,m=-1,n=-1.5,从而得到所求的抛物线解析式为y=
1
2
x2-x-
3
2

(2)将上题求得的解析式变形为y=
1
2
(x-1)2-2
,求得顶点点P坐标为(1,-2)然后求得抛物线与x轴的交点C坐标为(3,0),过P作PM⊥x轴于M.根据P(1,-2)得到PM=2,OM=1,MC=OC-OM=2然后利用勾股定理求得PC的长即可;
(3)根据PM=MC得到∠MPC=∠MCP=45°,过点A作AN⊥x轴于N,利用A(-3,6)得到AN=6,ON=3,进一步得到CN=OC+ON=6,利用勾股定理求得AC的长,然后利用△CDP∽△CBA得到比例式
CD
CB
=
PC
AC
,将CD=3-a,PC=2
2
,BC=4,代入求得a的值后即可求得点D坐标.
解答:精英家教网解:(1)∵抛物线y=
1
2
x2+mx+n
过点-A(-3,6),B(-1,0),
9
2
-3m+n=6
1
2
-m+n=0

解得,m=-1,n=-1.5,
∴所求的抛物线解析式为y=
1
2
x2-x-
3
2
…(3分)

(2)∵y=
1
2
(x-1)2-2

∴点P坐标为(1,-2)当y=0时,
1
2
x2-x-
3
2
=0

∴x1=3,x2=-1
∴点C坐标为(3,0),
过P作PM⊥x轴于M.
∵P(1,-2)
∴PM=2,OM=1
∴MC=OC-OM=2
∴PC=
PM2+MC 
=
4+4
=2
2
…(8分)

(3)∵PM=MC
∴∠MPC=∠MCP=45°,
过点A作AN⊥x轴于N,
∵A(-3,6)
∴AN=6,ON=3,
∴CN=OC+ON=6,
∴AC=
AN2+CN2
=
36+36
=6
2

∵AN=CN∴∠NAC=∠NCA=45°
∴∠MCP=∠NCA=45°
∵∠DPC=∠BAC
∴△CDP∽△CBA.
CD
CB
=
PC
AC

设点D坐标为(a,0)
∴CD=3-a,PC=2
2
,BC=4,AC=6
2

3-a
4
=
2
2
6
2
,a=
5
3

∴点D坐标为(
5
3
,0)…(13分)
点评:本题考查了二次函数的综合知识,解题过程中用到了将点的坐标与线段的长的转化,是解决此类题目中比较关键的地方.
练习册系列答案
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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(
5
2
13
4
),B点在y轴上,直线与x轴的交点为F,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求k,m的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.
(1)求此二次函数的解析式,并写出它的对称轴;
(2)若直线l:y=kx(k>0)与线段BC交于点D(不与点B,C重合),则是否存在这样的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与△BAC相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若直线l′:y=m与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
精英家教网

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(1)求b的值及这个二次函数的关系式;
(2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点,则四边形DCEP能否构成平行四边形?如果能,请求出此时P点的坐标;如果不能,请说明理由.
(4)以PE为直径的圆能否与y轴相切?如果能,请求出点P的坐标;如果不能,请说明理由.

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精英家教网如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点C(0,-5).
(1)求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标.
(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P(2,-2),连接OP,找出x轴上所有点M的坐标,使得△OPM是等腰三角形.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•衡水一模)如图,已知二次函数y=-
12
x2+bx+c
的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积;
(3)若抛物线的顶点为D,在y轴上是否存在一点P,使得△PAD的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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