Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+b与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E．
（1）求b的值及这个二次函数的关系式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
（4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可用顶点式二次函数通式设出二次函数的解析式，然后将A点的坐标代入其中，即可求出抛物线的解析式和b的值．
（2）PE的长实际是直线AB的解析式与抛物线的差．由此可得出h，x的函数关系式．
（3）先求出D点的坐标和CD的长，由于四边形PDCE是平行四边形，因此CD=PE，将CD的长代入（2）的函数关系式中，可得出一个关于x的方程，如果方程无解，则说明不存在这样的P点，如果有解，那么求出的x就是P的横坐标，进而可根据直线AB的解析式求出P点的坐标．
（4）假设存在这样的P点，那么此时圆心到y轴的距离为

1

2

PE，即圆心的横坐标（即P的横坐标）为

1

2

h，然后代入（2）的函数式中即可求出P点的横坐标，进而可求出符合条件的P点的坐标．

解答：解：（1）b=1
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²把A（3，4）代入，
得a=1；
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²
即y=x²-2x+1；

（2）h=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x（0＜x＜3）；

（3）要使四边形DCEP是平行四边形，必须有PE=DC，
∵y=x+1经过点D，
∴D（1，2），
∴-x²+3x=2，
解得x=2或x=1，
∵当x=1时，y=2，
∴P（1，2）与D点重合，故舍去，
∴当点P的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形；

（4）设圆心坐标为（m，n），则m=

1

2

h时，该圆与y轴相切，
∵m=x，
∴得x=

-x2+3x

2

，
解得x=1，x=0（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）时，以PE为直径的圆能与y轴相切．

点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，切线的判定等知识点．
考查学生数形结合的数学思想方法．