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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(3)线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先根据直线的解析式求出A点的坐标,然后根据M点的坐标,用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式,将A点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.
(2)根据直线y=x+2的解析式求出A点的坐标,根据A、B的坐标求出抛物线的解析式,由PQ⊥x轴得P、Q的横坐标为x,最后用纵坐标的差表示出来就可.根据A、B两点的总坐标就可以求出取值范围;
(3)过点M作MQ∥AB交抛物线于点Q,连接AM,作PQ∥y轴于点P,过M作MD∥PQ,MD交AB于N,得出四边形PQMD为平行四边形,可以求出MD的长度,从而求出P点的坐标;
解答:解:(1)依题意,设二次函数的解析式为y=a(x-2)2
由于直线y=x+2与y轴交于(0,2),
∴x=0,y=2
满足y=a(x-2)2,于是求得a=
1
2

二次函数的解析式为y=
1
2
(x-2)2

(2)∵PQ⊥x轴且横坐标为x,
∴l=(x+2)-
1
2
(x-2)2=-
1
2
x2+3x,
y=x+2
y=
1
2
(x-2)2
得点B的坐标为B(6,8),
∵点p在线段AB上运动,
∴0<x<6.
l=-
1
2
x2+3x=-
1
2
(x-3)2+
9
2

∴当x=3时,l最大=
9
2

∴0<l<
9
2


(3)作MQ∥AP.过M作MD∥PQ,MD交AB于N,
则四边形PQMD为平行四边形.
∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.
PQ=-
1
2
x2+3x=MD=4

∴x2-6x+8=0,∴x1=2,x2=4.
∵2<x<6,∴x=4.
∴P(4,6),Q(4,2).
即P点的坐标为:(4,6)
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、梯形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•高淳县一模)如图,已知二次函数y=-
1
2
x2+mx+3的图象经过点A(-1,
9
2
).
(1)求该二次函数的表达式,并写出该函数图象的顶点坐标;
(2)点P(2a,a)(其中a>0),与点Q均在该函数的图象上,且这两点关于图象的对称轴对称,求a的值及点Q到y轴的距离.

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(2013•江宁区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(-1,0),对称轴为过点(1,0)且与y轴平行的直线.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)结合图象,解答下列问题:
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴上方?
②当-1<x<2时,求函数y的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知二次函数y=(x-1)2的图象的顶点为C点,图象与直线y=x+m的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.
(1)求m的值;
(2)点P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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