Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；
（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；
（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．

解答：解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，
∴4=3+m．（1分）
∴m=1．（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）²．（3分）
∵点A（3，4）在二次函数y=a（x-1）²的图象上，
∴4=a（3-1）²，
∴a=1．（4分）
∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）²．
即y=x²-2x+1．（5分）

（2）设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E（6分）
=（x+1）-（x²-2x+1）（7分）
=-x²+3x．（8分）
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（9分）

（3）存在．（10分）
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．（11分）
∵点D在直线y=x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴-x²+3x=2．
即x²-3x+2=0．（12分）
解之，得x₁=2，x₂=1（不合题意，舍去）（13分）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．（14分）
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．（11分）
设直线CE的函数关系式为y=x+b．
∵直线CE经过点C（1，0），
∴0=1+b，
∴b=-1．
∴直线CE的函数关系式为y=x-1．
∴

y=x-1 y=x2-2x+1

得x²-3x+2=0．（12分）
解之，得x₁=2，x₂=1（不合题意，舍去）
∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．

点评：此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；
（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．