Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x=1．
（1）若a=-1，求c-b的值；
（2）若实数m≠1，比较a+b与m（am+b）的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线对称性可知，其与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0．
当a=-1时，解得 c-b=1．

（2）当m≠1时，a+b＞m（am+b），
理由如下：
当x=1时，y=a+b+c，
当x=m时，y=am²+bm+c，
∵a＜0，
∴当x=1时，函数取最大值y=a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am²+bm+c，
∴a+b＞am²+bm，
即a+b＞m（am+b）．
分析：（1）因为抛物线上网对称轴为x=1，由抛物线对称性可知，其与x轴的另一个交点为（-1，0），把x=-1代入函数的解析式即可得到c-b的值；
（2）当m≠1时，a+b＞m（am+b），把x=1和x=m分别代入函数的解析式得到关于a，b，c的关系式，因为顶点的横坐标为1，所以当x=1时函数取最大值y=a+b+c，
即a+b+c＞am²+bm+c，进而证明a+b＞m（am+b）．
点评：本题考查了二次函数的图象和x轴交点的问题，求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．