Question

反比例函数y=

k

x

（k＞1）和y=

1

x

在第一象限内的图象如图所示，点P在y=

k

x

的图象上，PC⊥x轴于C，交y=

1

x

的图象于A，PD⊥y轴于D，交y=

1

x

的图象于B，当点P在反比例函数y=

k

x

上运动时，以下结论①S_△ODB=

1

2

；②四边形PAOB的面积始终不变；③PA=PB；④

PD

PB

=

PC

PA

；其中一定正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②

Answer 1

分析：设P（m，n），则mn=k，根据A、B两点在双曲线y=

1

x

上，且A点横坐标与P点横坐标相等，B点纵坐标与P点纵坐标相等，表示A、B两点的坐标，再对每个结论逐一判断．

解答：解：设P（m，n），则mn=k，
∵A、B两点在双曲线y=

1

x

上，
∴A（m，

1

m

），B（

1

n

，n），
∴①S_△ODB=

1

2

DB×OD=

1

2

×

1

n

×n=

1

2

，结论正确；
②S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=mn-

1

2

-

1

2

=k-1（定值），结论正确；
③PA=n-

1

m

=

k-1

m

，PB=m-

1

n

=

k-1

n

，PA≠PB，结论错误；
④

PD

PB

=

m

m- 1 n

=

k

k-1

，

PC

PA

=

n

n- 1 m

=

k

k-1

，

PD

PB

=

PC

PA

，结论正确．
故选C．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是设P点坐标，利用点与点的坐标关系，反比例函数的性质表示相关线段的长，对每一个结论进行判断．