Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，O为BD的中点．
（1）若AC=8，BD=10，求△A0C的周长．
（2）若∠ABD=60°，∠CBD=50°，求∠A0C和∠OCA的度数．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出AO和CO，即可得出答案；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出AO=OB，求出∠OAB=∠ABD=60°，根据三角形内角和定理得出∠AOB=60°，同理∠COB=80°，求出∠AOC即可；根据OA=OC得出∠OCA=∠OAC=

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（180°-∠AOC），代入求出即可．

解答：解：（1）∵∠BAD=∠BCD=90°，O为BD的中点，AC=8，BD=10，
∴AO=

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BD=5，CO=

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BD=5，
∴△A0C的周长为AC+OA+OC=10+5+5=20；

（2）∵∠BAD=90°，O为BD中点，
∴AO=OB，
∵∠ABD=60°，
∴∠OAB=∠ABD=60°，
∴∠AOB=180°-60°-60°=60°，
同理∠COB=180°-50°-50°=80°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+80°=140°；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=

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（180°-∠AOC）=20°．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．