Question

【题目】(2016广东省深圳市第22题)如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC。

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）。问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)、2；(2)、证明过程见解析；(3)、定值为8.

【解析】

试题分析：(1)、连接OC，根据折叠图形的性质得出OM=1，根据勾股定理的性质得出CD的长度；(2)、首先根据勾股定理求出PC的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出切线；(3)、连接GA、AF、GB，根据题意得出△AGE与△FGA相似，从而得出GE·GF=，然后根据等腰直角三角形的性质得出答案.

试题解析：(1)、如答图1，连接OC ∵沿CD翻折后，A与O重合 ∴OM=OA=1，CD⊥OA

∵OC=2 ∴CD=2CM=2=2

(2)、∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 又∵CMP=∠OMC=90° ∴PC==2

∵OC=2,PO=4 ∴ ∴∠PCO=90° ∴PC与☉O相切

(3)、GE·GF为定值，理由如下： 如答图2，连接GA、AF、GB ∵G为中点 ∴

∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽△FGA ∴

∴GE·GF= ∵AB为直径，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 ∴GE·GF==8