Question

1．如图，
（1）BD、CE是△ABC的角平分线，
①若∠A=50°，求∠BOC的度数；
②若∠A=α，则∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$α
（2）BD、CE是△ABC的高，
①若∠A=50°，求∠BOC的度数；
②若∠A=α，则∠BOC=180°-α．

Answer 1

分析 （1）由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠OBC+∠OCB的度数，进而求出∠BOC的度数；
（2）因为BD、CE均为△ABC的高，则有AEC=∠ADB=∠BDC=90°；又知∠A=50°，可根据三角形的内角和定理得到∠ACE=90°-∠A=90°-50°=40°，最后依据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠BOC=∠BDC+∠ACE=90°+40°=130°．

解答 解：（1）①∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°；
②∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$α，
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$α；：
（2）①∵BD、CE均为△ABC的高，
∴∠AEC=∠ADB=∠BDC=90°，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=90°-∠A=90°-50°=40°．
则∠BOC=∠BDC+∠ACE=90°+40°=130°；
②∠BOC=90°+（90°-α）=180°-α，
故答案为：180°-α

点评 本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．