【题目】如图,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.
(1)求证:EF是⊙O切线;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AE=3.
【解析】分析: (1)要证EF是⊙O的切线,只要连接OE,再证∠FEO=90°即可;
(2)证明△FEA∽△FBA,得出AE,BF的比例关系式,勾股定理得出AE,BF的关系式,求出AE的长.
详解:
(1)证明:连接OE,
∵∠B的平分线BE交AC于D,
∴∠CBE=∠ABE.
∵EF∥AC,
∴∠CAE=∠FEA.
∵∠OBE=∠OEB,∠CBE=∠CAE,
∴∠FEA=∠OEB.
∵∠AEB=90°,
∴∠FEO=90°.
∴EF是⊙O切线.
(2)解:∵AFFB=EFEF,
∴AF×(AF+15)=10×10.
∴AF=5.
∴FB=20.
∵∠F=∠F,∠FEA=∠FBE,
∴△FEA∽△FBE.
∴EF=10
∵AE2+BE2=15×15.
∴AE=3.
点睛: 本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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【题目】满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.∠A-∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=3: 4: 7
C.∠A=2∠B=3∠CD.∠A=9°,∠B=81°
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为D.下列结论:①2a+b=0;②2c<3b;③当m≠1时,a+b<am2+bm;④当△ABD是等腰直角三角形时,则a= ;⑤当△ABC是等腰三角形时,a的值有3个.其中正确的有( )个.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【题目】如图,小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上,利用旗杆OM顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是( )
A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米
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【题目】BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高,P在BD的延长线上,且BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,
求证:(1)AP=AQ ;
(2)AP⊥AQ.
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【题目】某公司有2位股东,25名工人,从2006年至2008年,公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如图所示.
(1)填写下表
年份 | 2006年 | 2007年 | 2008年 |
工人的平均工资/元 |
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股东的平均工资/元 |
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(2)假设在以后的若干年中,每年工人的工资和股东的利润都按图中的速度增长,那么到哪一年,股东的平均利润是工人的平均工资的10倍?
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【题目】国家环保局统一规定,空气质量分为5级:当空气污染指数达0—50时为1级,质量为优;51—100时为2级,质量为良;101—200时为3级,轻度污染;201—300时为4级,中度污染;300以上时为5级,重度污染.某城市随机抽取了2015年某些天的空气质量检测结果,并整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列各题:
(1)本次调查共抽取了 天的空气质量检测结果,请补全条形统计图;
(2)扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 °;
(3)如果空气污染达到中度污染或者以上,将不适宜进行户外活动,请你估计2015年该城市有多少天不适宜开展户外活动.(说明:2015年共365天)
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【题目】在△ABC中,AB=AC≠BC,点D和点A在直线BC的同侧,BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,连接AD,求∠ADB的度数.(不必解答)
(1)小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.
请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC的形状是 三角形;∠ADB的度数为 .
(2)在原问题中,当∠DBC<∠ABC(如图1)时,请计算∠ADB的度数;
(3)在原问题中,过点A作直线AE⊥BD,交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=2.请直接写出线段BE的长为 .
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