Question

14．已知二次函数y=kx²-4kx+3k（k≠0）
（1）当k=1时，求该抛物线与坐标轴的交点的坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值；
（3）若直线y=2k与二次函数的图象交于E、F两点，问线段EF的长度是否是定值？如果是，求出其长度；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把k=1代入解析式，解一元二次方程得到答案；
（2）根据k＞0和k＜0两种情况，利用二次函数的性质解答即可；
（3）把直线y=2k与二次函数y=kx²-4kx+3k组成方程组，求出E、F的坐标，计算EF的长，得到答案．

解答 解：（1）当k=1时，该抛物线为：y=x²-4x+3，
x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
抛物线与x轴的交点的坐标为（1，0），（3，0），
当x=0时，y=3，
抛物线与y轴的交点的坐标为（0，3）；
（2）对称轴为：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4k}{2k}$=2，
当k＞0时，x=0时，y有最大值3k，
当k＜0时，y的最大值即顶点的纵坐标，
为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-k，
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=k{x}^{2}-4kx+3k}\\{y=2k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2+\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2k}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=2k}\end{array}\right.$，
E（2+$\sqrt{3}$，2k），F（2-$\sqrt{3}$，2k），
EF=2$\sqrt{3}$，
∴EF为定值．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法和二次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系和二次函数的性质是解题的关键．