Question

6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC﹦90°，AD﹦BD，AC与BD相交于点E，AC⊥BD，过点E作EF∥AB交AD于F．
（1）说明AF﹦BE的理由；
（2）AF²与AE•EC有怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据平行构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答；
（2）因为AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，又因为AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性质即可解答．

解答 证明：（1）∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB．
∴$\frac{DF}{DA}$=$\frac{DE}{DB}$，
又∵DA=DB，
∴DF=DE．
∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．

（2）AF²=AE•EC．
∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
又∵AC⊥BD，
∴△BCE∽△ABE．
∴$\frac{EB}{EC}$=$\frac{AE}{EB}$，即EB²=AE•EC．
又∵AF=EB，
∴AF²=AE•EC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是根据平行和直角三角形的性质找出图中的相似三角形，利用相似三角形的性质解答此题．