Question

3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120，BC=6cm，线段AB垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=2cm．

Answer 1

分析 作辅助线，构建等腰三角形ABM和直角三角形AMC，由等腰△ABC和∠A=120得两底角为30°，再由垂直平分线的性质得AM=BM，从而依次求得∠MAB=30°和∠MAC=90°，根据30°所对的直角边是斜边的一半及中位线定理的推论得AM=BM=MN=NC，则可知所求的MN=$\frac{1}{3}$BC，代入得结论．

解答 解：如图，连接AM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴∠MAB=∠B=30°，
∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=120°-30°=90°，
在Rt△MAC中，∠C=30°，
∴MC=2AM，
∵FN是AC的垂直平分线，
∴∠NFC=90°，AF=FC，
∴∠NFC=∠MAC=90°，
∴AM∥FN，
∴MN=NC=$\frac{1}{2}$MC，
∴AM=BM=MN=NC，
∴MN=$\frac{1}{3}$BC，
∵BC=6cm，
∴MN=2cm．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、判定及线段垂直平分线的性质；熟练掌握等腰三角形和垂直平分线的性质，如果已知中有垂直平分线，则考虑利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等进行证明或连接辅助线；本题还利用了中位线的推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，或利用平行线分线段成比例定理得出MN=NC，使问题得以解决．