Question

（2013•丽水）如图，点P是反比例函数y=

k

x

（k＜0）图象上的点，PA垂直x轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=

5

．
（1）k的值是

-4

；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是

0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

．

Answer 1

分析：（1）设P（-1，t）．根据题意知，A（-1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直线BC的解析式y=-2x+2．把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值；
（2）如图，延长线段BC交抛物线于点M，由图可知，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC；作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC．

解答：解：（1）如图，PA垂直x轴于点A（-1，0），
∴OA=1，可设P（-1，t）．
又∵AB=

5

，
∴OB=

AB2-OA2

=

5-1

=2，
∴B（0，2）．
又∵点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式是：y=-2x+2．
∵点P在直线BC上，
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是（-1，4），
∴k=-4．
故填：-4；

（2）①如图1，延长线段BC交双曲线于点M．
由（1）知，直线BC的解析式是y=-2x+2，反比例函数的解析式是y=-

4

x

．
则

y=-2x+2 y=- 4 x

，
解得，

x=2 y=-2

或

x=-1 y=4

（不合题意，舍去）．
根据图示知，当0＜a＜2时，∠MBA＜∠ABC；
②如图，作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长交双曲线于点M′．
∵A（-1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y=2x+2．
设CC′解析式为：y=-

1

2

x+b，
∵C（1，0），
∴b=

1

2

，
∴CC′解析式为：y=-

1

2

x+

1

2

，
∵AC=AC′=2，
∴设C′点横坐标为：x，则纵坐标为：-

1

2

x+

1

2

，
∴（-x-1）²+（-

1

2

x+

1

2

）²=4
解得：x₁=-

11

5

，x₂=1（不合题意舍去），
∴C′（-

11

5

，

8

5

），则易求直线BC′的解析式为：y=

2

11

x+2，
∴

y= 2 11 x+2 y=- 4 x

，
解得：x₁=

-11+ 33

2

，x₂=

-11- 33

2

，
则根据图示知，当

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

时，∠MBA＜∠ABC．
综合①②知，当0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

时，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及分式方程组的解法．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，解题的过程中，利用了“数形结合”的数学思想．