如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2为斜边在△OA1A2，外作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3，外作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4，外作等腰直角△OA4A5，…连接A1A3，A3A5，A5A7，…分别与OA2，OA4，OA6，…交于点B1，B2，B3，…按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为S1，△OB2A5的面积为S2，△OB3A7的面积为S3，…△OBnA2n+1的面积为Sn，则Sn=$（\frac{1}{4}）^{n-1}×\frac{1}{3}$（用含正整数n的式子表示）． 分析 先根据等腰直角三角形的定义求出∠A1OA3=∠OA3A2=90°，得A2A3∥OA1，根据同底等高的两个三角形的面积相等得：${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}O}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{3}O}$，所以${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，同理得：A4A5∥A3O，同理得：${S}_{△O{B}_{2}{A}_{5}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$，根据已知的${S}_{△O{A}_{1}{A}_{2}}$=1，求对应的直角边和斜边的长：OA2=A1A2=$\sqrt{2}$，A2A3=OA3=1，OA1=2，并利用平行相似证明△A2B1A3∽△OB1A1，列比例式可以求A2B1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，根据面积公式计算S1=$\frac{1}{3}$，同理得：S2=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$，从而得出规律：Sn=$\frac{1}{4}$Sn-1=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$．
解答 解：∵△OA1A2、△OA2A3是等腰直角三角形，
∴∠A1OA2=∠A2OA3=45°，
∴∠A1OA3=∠OA3A2=90°，
∴A2A3∥OA1，
∴${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}O}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{3}O}$（同底等高），
∴${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$+${S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}$=${S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}$+${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，
∴${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$，
同理得：A4A5∥A3O，
${S}_{△O{B}_{2}{A}_{5}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$，
∵${S}_{△O{A}_{1}{A}_{2}}$=1，
∴$\frac{1}{2}$OA2•A1A2=1，
∵OA2=A1A2，
∴OA2=A1A2=$\sqrt{2}$，
∴A2A3=OA3=1，OA1=2，
∵A2A3∥OA1，
∴△A2B1A3∽△OB1A1，
∴$\frac{{A}_{2}{A}_{3}}{O{A}_{1}}$=$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵A2O=$\sqrt{2}$，
∴A2B1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴S1=${S}_{△O{A}_{3}{B}_{1}}$=${S}_{△{A}_{1}{A}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$A1A2•A2B1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
同理得：OA4=A3A4=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A4A5=$\frac{1}{2}$，
∴△A4A5B2∽△OA3B2，
∴$\frac{{A}_{4}{B}_{2}}{O{B}_{2}}$=$\frac{{A}_{4}{A}_{5}}{O{A}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴A4B2=$\frac{1}{3}O{A}_{4}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴S2=${S}_{△O{A}_{5}{B}_{2}}$=${S}_{△{A}_{3}{A}_{4}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{6}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$，
所以得出规律：Sn=$\frac{1}{4}$Sn-1=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$，
故答案为：$（\frac{1}{4}）^{n-1}$×$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定以及三角形面积的计算问题，比较复杂，书写时小下标较多，要认真书写，先根据等腰直角三角形的面积求各边的长，利用同底等高的三角形面积相等将所求的三角形进行转化，从而解决问题，并发现规律．
七彩题卡口算应用一点通系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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