Question

已知△ABC三边分别为a，b，c，内切圆⊙I的半径为r，证明：S_△ABC=

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r（a+b+c）．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：如图，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，连接IA、IB、IC，根据内切圆的性质得ID=IE=IF=r，再根据三角形面积公式得到S_△AIB=

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AB•ID，S_△CIB=

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BC•IE，S_△AIC=

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AC•IF，然后利用S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC进行计算即可得到结论．

解答：证明：如图，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，连接IA、IB、IC，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴ID=IE=IF=r，
∵S_△AIB=

1

2

AB•ID，S_△CIB=

1

2

BC•IE，S_△AIC=

1

2

AC•IF，
∴S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br=

1

2

r（a+b+c）．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．