Question

（2013•六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为

2 +2

2

π

，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为

15 2 +31

2

π

．

Answer 1

分析：为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；
①根据弧长公式列式进行计算即可得解；
②求出61次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．

解答：解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，
第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π×1

180

=

1

2

π；
第2次旋转路线是以正方形的对角线长

2

为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π× 2

180

=

2

2

π；
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π×1

180

=

1

2

π；
第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，
因此4次旋转，顶点O经过的路线长为

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π=

2 +2

2

π；
∵61÷4=15…1，
∴经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，即

2 +2

2

π×15+

1

2

π=

15 2 +31

2

π．
故答案分别是：

2 +2

2

π；

15 2 +31

2

π．

点评：本题考查了旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．