Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于点D，连接AD，BD．
（1）求证：AD=BD；
（2）若AB=6，sin∠ACB=

3

5

，C为弧AD的中点，连接DO，并延长交BC于点E，求OE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）由CD平分△ABC的外角∠BCM得到∠MCD=∠DCB，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，则∠DAB=∠DBA，于是可得到结论；
（2）延长DO交AB于F，连结OC交AD于P，作EH⊥AD于H，根据等腰三角形外心的性质得到DF垂直平分AB，则AF=

1

2

AB=3，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOF，
则sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，可计算出半径OA=5，用勾股定理数出OF=4，AD=3

10

，由C为弧AD的中点，根据垂径定理得OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，所以点E为△ABC的内心，则AE平分∠DAB，根据角平分线性质得EH=EP，用勾股定理计算出PO=

10

2

，然后利用OP∥EH得到△DOP∽△DEH，
通过相似比计算出OE．

解答：（1）证明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；
（2）解：延长DO交AB于F，连结OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如图，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠ACB=∠AOF，
∴sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，
∴OA=5，
在Rt△OPA中，OF=

52-32

=4，
在Rt△AFD中，AD=

AF2+DF2

=3

10

∵C为弧AD的中点，
∴OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，
∴点E为△ABC的内心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EF，
在Rt△DPO中，OP=

DO2-DP2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

DO

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．