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(2013•连云港)如图,已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B,与反比例函数y=
k1
x
的图象的一个交点为A(1,m).过点B作AB的垂线BD,与反比例函数y=
k2
x
(x>0)的图象交于点D(n,-2).
(1)求k1和k2的值;
(2)若直线AB、BD分别交x轴于点C、E,试问在y轴上是否存在一个点F,使得△BDF∽△ACE?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将A坐标代入反比例函数y=
k1
x
中即可求出k1的值;过A作AM垂直于y轴,过D作DN垂直于y轴,可得出一对直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BDN相似,由相似得比例,求出DN的长,确定出D的坐标,代入反比例函数y=
k2
x
中即可求出k2的值;
(2)在y轴上存在一个点F,使得△BDF∽△ACE,此时F(0,-8),理由为:由y=2x+2求出C坐标,由OB=ON=2,DN=8,可得出OE为三角形BDN的中位线,求出OE的长,进而利用两点间的距离公式求出AE,CE,AC,BD的长,以及∠EBO=∠ACE=∠EAC,若△BDF∽△ACE,得到比例式,求出BF的长,即可确定出此时F的坐标,
再利用BD=DF时,进而得出即可.
解答:解:(1)将A(1,m)代入一次函数y=2x+2中,得:m=2+2=4,即A(1,4),
将A(1,4)代入反比例解析式y=
k1
x
得:k1=4;
过A作AM⊥y轴,过D作DN⊥y轴,
∴∠AMB=∠DNB=90°,
∴∠BAM+∠ABM=90°,
∵AC⊥BD,即∠ABD=90°,
∴∠ABM+∠DBN=90°,
∴∠BAM=∠DBN,
∴△ABM∽△BDN,
AM
BN
=
BM
DN
,即
1
4
=
2
DN

∴DN=8,
∴D(8,-2),
将D坐标代入y=
k2
x
得:k2=-16;

(2)符合条件的F坐标为(0,-8),理由为:
由y=2x+2,求出C坐标为(-1,0),
∵OB=ON=2,DN=8,
∴OE=4,
可得AE=5,CE=5,AC=2
5
,BD=4
5
,∠EBO=∠ACE=∠EAC,
若△BDF∽△ACE,则
BD
AC
=
BF
AE
,即
4
5
2
5
=
BF
5

解得:BF=10,
则F(0,-8).
综上所述:F点坐标为(0,-8)时,△BDF∽△ACE.
点评:此题考查了反比例综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
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