平面直角坐标中,对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O,其顶点坐标为(3,);Rt△ABC的直角边BC在x轴上,直角顶点C的坐标为(,0),且BC=5,AC=3(如图1).
图1 图2
(1)求出该抛物线的解析式;
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移,当点A落在(1)中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动.D(0,4)为y轴上一点,设点B的横坐标为m,△DAB的面积为s.
①分别求出点B位于原点左侧、右侧(含原点O)时,s与m之间的函数关系式,并写出相应自变量m的取值范围(可在图1、图2中画出探求);
②当点B位于原点左侧时,是否存在实数m,使得△DAB为直角三角形?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)y=x2﹣3x;
(2)①当点B位于原点左侧时,S=m+10.(﹣4.5≤m<0),
当点B位于原点右侧(含原点O)时,S=m+10.(0≤m<﹣2),
②存在,m1=﹣1,m2=﹣4,m3=﹣4.4.
解析试题分析:(1)根据抛物线顶点坐标为(3,﹣),利用顶点式求出即可;
(2)根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧(含原点O)时,分别分析即可得出答案.
试题解析:(1)由题意,设所求抛物线为y=a(x﹣3)2﹣.①
将点(0,0)代入①,得a=.
∴y=x2﹣3x;
(2)①当点B位于原点左侧时,如图(1):
S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC=•4•(﹣m)+(4+3)(5+m)﹣=m+10.
∴S=m+10.(﹣4.5≤m<0),
当点B位于原点右侧(含原点O)时,如图(2):
S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC=(4+3)(5+m)﹣•4•m﹣=m+10.
∴S=m+10.(0≤m<﹣2);
②m1=﹣1,m2=﹣4,m3=﹣4.4.
考点:二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
(1)求抛物线所对应的函数解析式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.
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如图1,把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起.
(1)操作1:固定正方形OABC,将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF,如图2,连接AD、CF,线段AD与CF之间有怎样的数量关系?试证明你的结论;
(2)操作2,如图2,将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移,平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN,如图3,设正方形PQMN移动的时间为x秒,正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y,直接写出y与x之间的函数解析式;
(3)操作3:固定正方形OABC,将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL,如图4,求△ACK的面积.
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如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
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如图,某种新型导弹从地面发射点L处发射,在初始竖直加速飞行阶段,导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为y=x2+x(0≤x≤10).发射3 s后,导弹到达A点,此时位于与L同一水面的R处雷达站测得AR的距离是2 km,再过3 s后,导弹到达B点.
(1)求发射点L与雷达站R之间的距离;
(2)当导弹到达B点时,求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值.
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如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).
(1)求直线BD和抛物线的解析式.
(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点D、E、F分别是边AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,动点P,Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿AFD的方向运动到点D停止;点Q沿BC的方向运动,当点P停止运动时,点Q也停止运动.在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M,以点P,M,Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y(cm2)(这里规定线段是面积为0有几何图形),点P运动的时间为x(s)
(1)当点P运动到点F时,CQ= cm;
(2)在点P从点F运动到点D的过程中,某一时刻,点P落在MQ上,求此时BQ的长度;
(3)当点P在线段FD上运动时,求y与x之间的函数关系式.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A、C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)若P是抛物线对称轴上一动点,△ACP周长最小时,求出P的坐标;
(3)是否存在抛物在线一动点Q,使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试问是否为定值,如果是,请直接写出结果,如果不是请说明理由.
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某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨元(为正整数),每个月的销售利润为元.
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
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