Question

【题目】如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（参考数据：sin53°≈ ， cos53°≈ ， tan53°≈）

（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点C、D分别作CH⊥AB，DF⊥CH，垂足分别为H，F，

∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°﹣60°=30°，

∴CG=BC=×（30×）=7.5，

∵∠DAG=90°，

∴四边形ADFG是矩形，

∴GF=AD=1.5，

∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，

∵∠DCF=53°，

∴COS∠DCF=，

∴CD===10（海里）．

答：CD两点的距离是10；

（2）

解：如图，

设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，

由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，

过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，

∴sin∠EDH=，

∴EH=EDsin53°=3t×=t，

∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===．

答：sin∠ECD=．

【解析】（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；
（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解关于方向角问题(指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角)．