Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对称轴为x=﹣ =﹣2，

解得b=﹣1，

所以，抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣x+3，

∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ （x+2）2+4，

∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）

解：令y=0，则﹣ x2﹣x+3=0，

整理得，x2+4x﹣12=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴点A（﹣6，0），B（2，0），

如图1，过点D作DE⊥y轴于E，

∵0≤t≤4，

∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，

= ×（2+6）×4﹣ ×6t﹣ ×2×（4﹣t），

=﹣2t+12，

∵k=﹣2＜0，

∴S随t的增大而减小，

∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4；

（3）

解：如图2，过点D作DF⊥x轴于F，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），

∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，

∴AF=DF，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴∠ADF=45°，

由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，

∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，

∵OF=OB=2，

∴PO为△BDF的中位线，

∴OP= DF=2，

∴点P的坐标为（0，2），

由勾股定理得，DP= =2 ，

AD= AF=4 ，

∴ = =2，

令x=0，则y=3，

∴点C的坐标为（0，3），OC=3，

∴ = =2，

∴ = ，

又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，

∴Rt△ADP∽Rt△AOC．

【解析】（1）根据二次函数的对称轴列式求出b的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可；（2）令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，过点D作DE⊥y轴于E，然后根据△PAD的面积为S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE ， 列式整理，然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t值；（3）过点D作DF⊥x轴于F，根据点A、D的坐标判断出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°，从而求出∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，然后求出点P的坐标，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可．