Question

14．如图①，AB∥CD，∠A=65°，∠C=40°．求∠AOC的度数．
解：过点O作OE∥AB，
因为AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以OE∥CD
根据“两条直线平行，内错角相等”，
所以∠1=∠A=65°，∠2=∠C=40°，
所以∠AOC=∠1+∠2=∠A+∠C=65°+40°=105°．
以上解决问题的过程，通过添加一条直线，把要求的角转化为两个角，使问题得到了解决，体现了数学学习中的转化思想，试运用这种思想，解决下面的问题：
（1）如图②，AB∥CD，∠A=112°，∠C=140°，求∠AOC．
（2）如图③，已知AB∥CD，在直线AB上有一光源P，从点P发出的一束光线以与直线AB成32°角射向垂直于CD的标杆EF上的点E处，求∠PEF的度数．
 

Answer 1

分析 （1）过点O作OE∥AB，由平行线的判定定理得出OE∥CD，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）过点E作EG∥AB，则OEG=∠APE=32°，EG∥AB，再由平行线的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图②，过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD，
∴∠A+∠AOE=180°，∠C+∠COE=180°，
∴∠AOE=180°-∠A=180°-112°=68°，∠COE=180°-∠C=180°-140°=40°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=68°+40°=108°；

（2）如图③，过点E作EG∥AB，则OEG=∠APE=32°．
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠GEF+∠EFD=180°．
∵CD⊥EF，
∴∠EFD=90°，
∴∠GEF=90°，
∴∠PEF=∠PEG+∠GEF=32°+90°=122°．

点评 本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．