Question

如图，△ABC是等边三角形，且AD•ED=BD•CD．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD•ED=BD•CD，
∴=，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴==，
∴AD=×6=4，CD=2，∠A=60°，
∴DF=AD•sinA=4×=2，AF=AD•cosA=4×=2，
∴BF=AB-AF=6-2=4，
在Rt△ADF中，
∵BF=4，DF=2，
∴BD===2，
∵==，
∴设DE=x，则BD=2x，
∴2x=2，解得x=，
∴BE=BD+DE=2x+x=3x=3．
分析：（1）由AD•ED=BD•CD可知=，再根据∠ADB=∠CDE即可得出结论；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，由（1）知△ABD∽△CED，再根据AB=6，AD=2CD可得出DE：BD=1：2，再根据△ABC是等边三角形可求出AD的长∠A的度数，根据直角三角形的性质求出DF及AF的长，进而可得出BF的长，在Rt△ADF中，根据勾股定理可求出BD的长，设DE=x，则BD=2x，可求出x的长，进而得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到等边三角形的性质、直角三角形的性质等相关知识，难度适中．