Question

4．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点 Q．
（1）求证：BE=AD．
（2）求证：BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质，结合条件可证明△BAE≌△ACD，可证得BE=AD；
（2）利用（1）中的△BAE≌△ACD，结合外角的性质，可求得∠PBQ=30°，再利用直角三角形的性质可证得BP=2PQ．

解答 证明：
（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中：
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{∠BAC=∠ACB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．