Question

如图：在△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，连接EF，
（1）若∠A=60°，求∠BEF的度数；
（2）若∠A=β，则∠BEF与∠A的关系式是什么？

Answer 1

分析：（1）过点F作FG⊥BC于G，FM⊥BE于M，FN⊥CE于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FM=FN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出EF平分∠BEC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠EBC+∠ECB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BEC的度数，从而得解；
（2）根据（1）的思路，把∠A=60°换为∠A=β，计算即可得解．

解答：解：（1）如图，过点F作FG⊥BC于G，FM⊥BE于M，FN⊥CE于N，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，
∴BF平分∠EBC，CF平分∠ECB，
∴FG=FM，FG=FN，
∴FM=FN，
∴EF平分∠BEC，
∴∠BEF=

1

2

∠BEC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
根据三等分，∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

×120°=80°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-80°=100°，
∴∠BEF=

1

2

×100°=50°；

（2）与（1）的求法相同，∵∠A=β，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-β，
根据三等分，∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-β），
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-

2

3

（180°-β）=60°+

2

3

β，
∴∠BEF=

1

2

×（60°+

2

3

β）=30°+

1

3

β，
即∠BEF=30°+

1

3

β．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质与判定，作辅助线，判断出EF平分∠BEC是解题的关键，注意整体思想的利用．