Question

（2012•宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

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∠ABC（0°＜∠CBE＜∠

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ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，
求证：DE′=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

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∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
求证：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

分析：（1）先根据∠DBE=

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∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=

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∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出结论；
（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）证DE=DE′，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠DBE=

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∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=

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∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，
∵

BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD

，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE；

（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．

点评：本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．