Question

如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上找一点P，使PA+PB最小．求P点坐标？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）y=    （2）P点为（，0）

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为 y=．

（2）由正比例函数 y=x的图象与反比例函数 y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点求得A为（2，1）．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，﹣1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=﹣3x+5，即可求得P点的坐标．

解：（1）设A点的坐标为（a，b），则 b=

∴ab=k

∵ab=1，∴k=1

∴k=2，

∴反比例函数的解析式为 y=

（2）根据题意画出图形，如图所示：

得=x，解得x=2或x=﹣2，

∵点A在第一象限，

∴x=2

把x=2代入y=得y=1，

∴A为（2，1）（4分）

设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．

令直线BC的解析式为y=mx+n

∵B点的横坐标为1，

B为反比例函数在第一象限图象上的点，

∴xy=2，

∴y=2，

∴B为（1，2），

将B和C的坐标代入得：，

解得：

∴BC的解析式为y=﹣3x+5（6分）

当y=0时，x=，

∴P点为（，0）．（7分）

点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、轴对称等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．