Question

一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16=5²-3²，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是________．

Answer 1

2656
分析：如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m²-n²=（m+n）（m-n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
解答：设这两个数分别m、n，
设m＞n，
即智慧数=m²-n²=（m+n）（m-n），
又∵mn是非0的自然数，
∴m+n和m-n就是两个自然数，
要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．
（k+1）²-k²=2k+1，（k+1）²-（k-1）²=4k，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去．
显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k+1=（k+1）²-k²，都是“智慧数”． 因为：4k=（k+1）²-（k-1）²，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x²-y²=（x+y）×（x-y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x+y）×（x-y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x+y）*（x-y）为奇数，所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”．
由于1989=3×663，
所以4×664=2656是第1990个“智慧数”．
故答案为：2656．
点评：本题主要考查了平方差公式，难度适中，主要是题中新定义的理解与把握．