Question

在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC延长线上的点，且BD=CE，AE交DC的延长线于点F，AG⊥CD，垂足为G．
求证：（1）△ACE≌△CBD；（2）AF=2FG．

Answer 1

解：（1）∵等边三角形各边长相等、各内角为60°，
∴∠ACE=∠CBD，
又∵AC=CB，BD=CE，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
又∵∠ACD=∠CAF+∠AFC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，
∴∠AFC=60°，
∴∠FAG=90°-60°=30°，
∴AF=2FG．
分析：（1）根据等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质可以求得∠ACE=∠CBD，即可求得△ACE≌△CBD；
（2）由（1）得∠CAE=∠BCD，再根据∠ACD=∠CAF+∠AFC，∠ACD=∠BCD+∠ACB，即可求得∠AFC=60°，即∠FAG=30°，∴AF=2FG．
点评：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中根据特殊角的三角函数值求得AF=2FG的值是解题的关键．