Question

已知⊙O与⊙O₁相离，OC与O₁D分别是⊙O与⊙O₁的半径，OC∥O₁D，直线CD交OO₁于点P，交⊙O于点A，交⊙O₁于点B．
求证：
（1）OA∥O₁B；
（2）

AP

BP

=

AC

BD

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆与圆的位置关系

专题：证明题

分析：（1）证明∠OAC=∠O₁BD，即可解决问题．
（2）证明△APO∽△BPO₁，得到

AP

BP

=

OA

O1B

；证明△OAC∽△O₁BD，得到

AC

BD

=

OA

O1B

，即可解决问题．

解答：解：（1）∵OC∥O₁D，
∴∠OCP=∠O₁DP，
∴∠OCA=∠O₁DB；
∵OA=OC，OB=OD，
∴∠OAC=∠OCA，∠O₁DB=∠O₁BD，
∴∠OAC=∠O₁BD，
∴OA∥O₁B．
（2）∵∠OAC=∠O₁BD，∠APO=∠BPO₁，
∴△APO∽△BPO₁，
∴

AP

BP

=

OA

O1B

；
∵∠OAC=∠O₁BD，∠OCA=∠O₁DB，
∴△OAC∽△O₁BD，
∴

AC

BD

=

OA

O1B

，
∴

AP

BP

=

AC

BD

．

点评：该题以圆为载体，以考查圆的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．