Question

1．阅读理解：为了求1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值，可M=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，则3M=3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹，因此3M-M=3¹⁰¹-1．所以M=$\frac{{{3^{101}}-1}}{2}$，即1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=$\frac{{{3^{101}}-1}}{2}$．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．
（1）1+4+4²+4³+…+4²⁰．
（2）5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 （1）根据题目信息，设S=1+4+4²+4³+…+4²⁰ ，求出4S，然后相减计算即可得解；
（2）设P=5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶，求出5P，两式相减计算即可得．

解答 解：（1）设S=1+4+4²+4³+…+4²⁰ ①，
则4S=4+4²+4³+…+4²⁰+4²¹  ②，
②-①得：3S=4²¹-1，
∴S=$\frac{{4}^{21}-1}{3}$，即1+4+4²+4³+…+4²⁰=$\frac{{4}^{21}-1}{3}$；

（2）设P=5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶ ①，
则5P=5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁷ ②，
②-①得：4P=5²⁰¹⁷-5¹⁰¹，
∴P=$\frac{{5}^{2017}-{5}^{101}}{4}$，即5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶=$\frac{{5}^{2017}-{5}^{101}}{4}$．

点评 本题考查了有理数的乘方和数字的变化类，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．