Question

（2012•上城区二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=

1

5

，则sin∠CBD的值为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  1

  2

• C．

  2 13

  13

• D．

  3 13

  13

Answer 1

分析：首先过点D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=

1

5

，易得BE=5DE=5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，可求得AE，AD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得BD的长，继而求得sin∠CBD的值．

解答：解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tan∠DBA=

1

5

=

DE

BE

，
∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6

2

．
∴AE+BE=5AE+AE=6

2

，
∴AE=

2

，
∴AD=

AE

cos∠A

=2，
∴CD=AC-AD=6-2=4，
在Rt△BCD中，BD=

CD2+BC2

=2

13

，
∴sin∠CBD=

CD

BD

=

4

2 13

=

2 13

13

．
故选C．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．