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(2013•襄城区模拟)如图,△ABC是边长为5的等边三角形,将△ABC绕点C顺时针旋转120°,得到△EDC,连接BD,交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
分析:(1)AC与BD互相垂直平分.如图,连接AD构建菱形ABCD,则菱形的对角线互相垂直平分;
(2)在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长.
解答:解:(1)AC与BD互相垂直平分.
证明:连接AD,由题意知,△ABC≌△EDC,∠ACE=120°,
又∵△ABC是等边三角形,
∴AB=DC=BC=DE=5,∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°,
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°,
∴B、C、E三点在一条直线上.
∴AB∥DC,
∴四边形ABCD为菱形,
∴AC与BD互相垂直平分;

(2)由(1)知,四边形ABCD为菱形,
∴∠DBE=
1
2
∠ABC=30°,
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°,
∴∠BDE=90°.
∵B、C、E三点在一条直线上,
∴BE=10,
∴BD=
BE2-DE2
=
102-52
=5
3
点评:本题考查的是等边三角形的性质及旋转的性质,熟知图形旋转后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键.
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