Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的底边a=3，另两边b，c好是此方程的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）计算方程的根的判别式，若△=b²-4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知底边a=3，则b=c，求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．

解答：（1）证明：∵△=b²-4ac=（k+1）²-4•（2k-2）=k²-6k+9=（k-3）²≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：当a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k-3）²=0，解得：k=3．
此时原方程化为x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为3，2，2；
∴周长为7．

点评：重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．