Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，则：①AB′=3；②当△CEB′为直角三角形时，BE=3或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 如图1，当∠CEB′=90°时，①由翻折变换的性质直接求出，即可解决问题；②证明四边形ABEB′为正方形，得到BE=AB=3，即可解决问题．
如图2，当∠EB′C=90°时，①由翻折变换的性质直接求出，即可解决问题；②首先求出B′C的长度；证明BE=B′E（设为λ），得到CE=4-λ；在直角△ECB′中，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．

解答 解：如图1，若∠CEB′=90°；
①由题意得：AB′=AB=3．
故答案为3．
②∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B′AB=∠B=90°；而∠BEB′=90°，
∴四边形ABEB′为矩形；而AB=AB′，
∴四边形ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
如图2，若∠EB′C=90°，
①由题意得：AB′=AB=3，
故答案为3．
②∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°；而AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5；
由题意得：AB′=AB=3，
BE=B′E（设为λ），
∴CE=4-λ，CB′=5-3=2；
由勾股定理得：（4-λ）²=λ²+2²，
解得：λ=$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的方法是深入观察图形，准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答．