Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：
连接OD、DE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD是⊙O半径，
∴直线BD与⊙O相切．

（2）解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°=∠C，
∴BC∥DE，
∴△ADE∽△ACB，
∴=
∵D为AC中点，
∴AD=DC=AC，
∴AE=BE=AB，
DE是△ACB的中位线，
∴AE=AB，DE=BC=×6=3，
∵设AD=4a，AE=5a，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，
解得：a=1，
∴AE=5a=5，
答：⊙O的直径是5．
分析：（1）连接OD、DE，求出∠A=∠ADO，求出∠ADO+∠CDB=90°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠ADE=90°=∠C，推出BC∥DE，得出E为AB中点，推出AE=AB，DE=BC=3，设AD=4a，AE=5a，由勾股定理求出DE=3a=3，求出a=1，求出AE即可．
点评：本题考查的知识点有圆周角定理、切线的判定、三角形的中位线定理，解（1）小题的关键是求出OD⊥BD，解（2）小题的关键是求出DE长，题目比较好，综合性比较强．