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    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

    （1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

    （2）在（1）所作的图形中，求证：AC2=CDCB．

    【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.

    【解析】试题分析：（1）作AB的垂直平分线得到AB的中点O，然后以O为圆心，OA为半径作圆交BC于D；

    （2）先利用圆周角定理得到∠ADB=∠CAB，则可判断△CAD∽△CBA，然后利用相似比得到CA：CB=CD：CA，再根据比例的性质即可得到结论．

    试题解析：（1）如图所示：

    （2）连接AD，如图，

    ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠CAB，

    ∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA：CB=CD：CA，

    ∴AC2=CDCB．

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    （2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；

    （3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．

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    （1）∠C的最大度数为 　；

    （2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

    （3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

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