Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值．
（2）求y=ax²+bx+c的解析式．
（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．

Answer 1

解：（1）令x=2，
则4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4；

（2）∵抛物线过（-1，1），
∴a-b+c=1，
∴b=1-a，c=2-2a，
而ax²+bx+c≥4x-4恒成立，
∴ax²-（a+3）x+6-2a≥0恒成立，
∴（a+3）²-4a（6-2a）≤0，
即（a-1）²≤0，
∴a=1，
又当a=1时，
x²≤2x²-4x+4恒成立，
∴解析式为y=x²；

（3）设M（x，y），
则MB=，
而x²=y，
∴MB==，
∴当y=时，MB的最小值=．
分析：（1）把x=2时代入4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，由此可以得到4≤4a+2b+c≤4，这样就可以求出4a+2b+c的值；
（2）由于y=ax²+bx+c经过点（-1，1），代入解析式中得到a-b+c=1，变形为b=1-a，然后利用（1）结论得到c=2-2a，接着分别把b、c代入已知的恒等式可以得到ax²-（a+3）x+6-2a≥0恒成立，然后利用非负数的性质可以得到a=1，最后利用恒等式即可求出y=ax²+bx+c的解析式；
（3）设M（x，y），则根据勾股定理得到MB=，然后把x换y，接着利用配方法即可求解．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有恒等式的性质、不等式的性质和利用配方法求最值，同时也利用了待定系数法确定函数解析式，要求学生分析问题、解决问题的能力比较高．