Question

如图所示，已知A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD．

（1）BD与EF互相平分吗？请说明理由；
（2）若将△ABF沿CA方向移动变为图②时，其余条件不变，上述结论是否还成立？请说明理由．

Answer 1

解：（1）BD与EF互相平分．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△BFA与Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BD与EF互相平分；

（2）上述结论还成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△BFA与Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BD与EF互相平分．
分析：（1）连接BE、FD，首先由题意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，则由全等三角形的判定定理HL证得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出BD与EF互相平分；
（2）同（1）的证明过程．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．