Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．
（1）求证：CM=EM；
（2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．

Answer 1

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中点，
∴CM=BD．
同理ME=BD，
∴CM=ME．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD²=BC²+CD²，
∴BD=，
∵CM=BD，CM=y，
∴y=（0＜x＜3），
（3）不变．
∵M是Rt△BCD斜边BD的中点，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M是Rt△BED斜边BD的中点，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵MC=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．
分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据CM=BD，可得BD=2y，根据勾股定理又可得出BD用x表示的形式，换成等式即可得出y与x的函数解析式；
（3）根据（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可证明∠MCE是定值，即可得出结论．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．