Question

若二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=

 

．

Answer 1

分析：由原方程至少有一个整数根，得到a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，可设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），从而得到a=

1

2

m(m+1)，把它代入原方程然后利用求根公式解得x1=-2+

4

m

，x2=-2-

4

m+1

，由于x₁，x₂中至少有一个整数，m为自然数，利用整数的整除性即可求出m的值，最后计算出对应的a的值．

解答：解：∵原方程至少有一个整数根，
∴a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，
设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），
∴a=

1

2

m(m+1)代入原方程，得

1

2

m(m+1)x2+2[m(m+1)-1]x+2m(m+1)-12=0，
解之得，x1=-2+

4

m

，x2=-2-

4

m+1

，
∵x₁，x₂中至少有一个整数，
∴m|4或（m+1）|4，
又∵m为自然数，
∴m=1，2，4或m+1=2，4．
∴m=1，2，3，4，
∴a=1，3，6，10．
故答案为：1，3，6，10．

点评：本题考查了一元二次方程有整数根的条件：判别式△=b²-4ac为完全平方数．也考查了利用求根公式解一元二次方程以及整数的整除性质．