Question

已知关于x的一元二次方程ax²+x-a=0（a≠0）．
（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
（2）设x₁、x₂是该方程的两个根，若|x₁|+|x₂|=4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根，即证明一元二次方程的根的判别式△=b²-4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若两根之积小于0，则方程有两个异号的实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把|x₁|+|x₂|=4变形成与两根之和与两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得a的值．

解答：证明：（1）∵△=1+4a²．
∴△＞0．
∴方程恒有两个实数根．
设方程的两根为x₁，x₂．
∵a≠0．
∴x₁•x₂=-1＜0．
∴方程恒有两个异号的实数根；

解：（2）∵x₁•x₂＜0．
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=4．
则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16．
又∵x₁+x₂=-

1

a

．
∴

1

a2

+4=16．
∴a=±

3

6

．

点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．