Question

20．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，点D在BC上，过点D作DE⊥BC，交BA或其延长线于点E，过点E作EF⊥BA交AC或其延长线于点F，连接DF．若DF⊥AC，则BD=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，BH=CH，则利用三角形外角性质得∠EAF=2∠B=60°，根据含30度角的直角三角形三边的关系得AH=$\frac{1}{2}$AB=1，BH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{3}$，所以BC=2BH=2$\sqrt{3}$，同样可得AF=2AE，DF=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，设BD=x，则CD=2$\sqrt{3}$-x，在Rt△BDE中，根据含30度角的直角三角形三边的关系得DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BE=2DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，则AE=BE-AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，然后利用x表示出AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），最后利用AF+CF=AC列方程$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x）=2，再解方程求出x即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC=2，
∴∠C=∠B=30°，BH=CH，
∴∠EAF=2∠B=60°，AH=$\frac{1}{2}$AB=1，BH=$\sqrt{3}$AH=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BH=2$\sqrt{3}$，
∵EF⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AEF=90°，∠DFC=90°，
∴AF=2AE，DF=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
设BD=x，则CD=2$\sqrt{3}$-x，
在Rt△BDE中，DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BE=2DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴AE=BE-AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴AF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x），
∵AF+CF=AC，
∴$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{3}$-x）=2，
解得x=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
即BD的长为$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．
故答案为$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．