Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，

1.当OA=时，求点O到BC的距离

2.如图2，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？

3.若BC边与⊙O有公共点，直接写出 OA

的取值范围；

4.若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

 

Answer 1

 

1.解：在Rt△ABE中，．   …………… 1分

过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，

∴△ODB∽△ACB， ∴，   ∴，   ∴，

∴点O到BC的距离为．      …………………………………………………    3分

2.证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F，

∵△OEB∽△ACB，  ∴  ∴，  ∴．

∴直线BC与⊙O相切．         ………………………………………………… 5分

此时，四边形OECF为矩形，

∴AF=AC-FC=3-=，

∵OF⊥AC，

∴AP=2AF=．                …………………………………………………   7分

3.；             …………………………………………………  9分

4.点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H，

则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，

又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分

设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，

∵OG∥BC，

∵△AOG∽△ABC，   ∴，  ∴ ，

∴，

∴，

∴AP=2AG=．              …………………………………………………    12分

解析:略