Question

一个圆的半径为6，则它的内接正三角形与外切正三角形的面积比为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：根据题意画出图形，先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解即可．

解答：解：如图1所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=360°÷3=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=

1

2

×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=6，
∴OD=

1

2

OB=3，BD=OB•cos30°=6×

3

2

=3

3

，
∴BC=2BD=2×3

3

=6

3

，
∴S_△BOC=

1

2

×BC×OD=

1

2

×6

3

×3=9

3

，
∴S_△ABC=3×9

3

=27

3

．
如图2所示，
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=360°÷3=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=

1

2

×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OD=6，
∴BD=

OD

tan30°

=

6

3 3

=6

3

，
∴BC=2BD=2×6

3

=12

3

，
∴S_△BOC=

1

2

×BC×OD=

1

2

×12

3

×6=36

3

，
∴S_△ABC=3×36

3

=108

3

．
∴

S内接三角形

S外切三角形

=

27 3

108 3

=

1

4

．
故答案为：1：4．

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正三角形的性质是解答此题的关键．